Aprender cálculo
Área entre curvas: intersecciones, curva superior menos inferior y división del intervalo
El área entre curvas no siempre coincide con la integral con signo de su diferencia. Localiza primero las intersecciones dentro del intervalo y determina qué gráfica queda arriba en cada tramo. Suma las áreas de los tramos sin cancelar regiones de signos opuestos.
Respuesta directa
Las curvas deben ser integrables en el intervalo finito elegido. El área geométrica es no negativa y se expresa en unidades cuadradas.
Área entre curvas paso a paso
Para y=x e y=x² en [0,1], resuelve x=x²: las intersecciones son 0 y 1. Entre ellas, x≥x².
Integra x−x²: [x²/2−x³/3]₀¹=1/6. El resultado se expresa en unidades cuadradas, no en unidades de pendiente.
Para y=x e y=0 en [−1,1], las curvas se cruzan en 0. Integra −x en [−1,0] y x en [0,1]; cada tramo aporta 1/2.
La integral con signo ∫₋₁¹ x dx es cero, pero el área geométrica es uno. Tomar |0| al final no recupera los dos tramos cancelados.
Si al despejar y obtienes límites más sencillos, usa cortes horizontales e integra derecha menos izquierda respecto de dy. No mezcles límites en x y en y.
Ejemplos resueltos
Encuentra las intersecciones antes de elegir la curva superior.
Divide en el cruce.
La curva constante permanece por encima de la parábola.
Errores comunes
- • Tomar el valor absoluto solo después de cancelar áreas.
- • Usar únicamente los extremos exteriores cuando las curvas se cruzan dentro.
- • Expresar unidades cuadradas como unidades cúbicas.
Prueba el ejemplo compatible con la calculadora
El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.
El ejemplo de integral definida ordinaria es válido porque x−x² es no negativo en [0,1]. La herramienta de aplicaciones gestiona automáticamente los cruces compatibles.
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de integrales definidasReferencias
Preguntas frecuentes
¿El área puede ser negativa?+
No. Una integral negativa indica orientación o una magnitud con signo, no área geométrica.
¿Siempre tengo que dividir?+
Solo donde cambia el orden de las curvas; una intersección en la que solo se tocan no tiene por qué cambiar el signo.
¿Qué admite la herramienta de aplicaciones?+
Polinomios de grado dos o inferior en intervalos finitos. Encuentra sus cruces reales en vez de adivinar signos con unas pocas muestras.
Conclusión
El área entre curvas parte del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.
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