Métodos de integración definida

Cómo evaluar integrales definidas: límites y pasos resueltos

Para evaluar una integral definida, encuentra una primitiva y resta su valor en el límite inferior de su valor en el superior. Antes de restar, comprueba el dominio, los límites y qué pide medir el problema.

Respuesta directa

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

Esta forma del teorema fundamental se aplica cuando f es continua en el intervalo cerrado finito y F′=f. Las singularidades y las integrales impropias requieren análisis aparte.

Cómo evaluar una integral definida paso a paso

Lee el límite inferior a y el superior b exactamente como están escritos. Comprueba que el integrando esté definido en todo el intervalo; un polo como el de 1/x en cero no puede tratarse restando valores en los extremos a ciegas.

Encuentra F con F′=f. Un polinomio puede usar la regla de la potencia; una expresión compuesta puede requerir sustitución; un producto puede requerir integración por partes. El método se elige según el integrando, no por la presencia de límites.

Calcula F(b)−F(a), poniendo entre paréntesis todo el valor del límite inferior. La misma constante C se cancela, así que el resultado definido no necesita +C.

Si sustituyes u=g(x), transforma ambos límites e integra en u o vuelve a x antes de usar los límites originales. Para ∫₀¹ 2x·exp(x²) dx, u=x² da los límites 0 y 1 y el resultado e−1.

Comprueba orientación y signo. Invertir los límites cambia el signo del resultado. Una integral es una magnitud con signo; para el área geométrica total, divide en los cambios de signo y suma contribuciones no negativas.

1
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)
2
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
3
∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Ejemplos resueltos

∫02x2 dx\int_{0}^{2} x^{2}\,\mathrm{d}x
83\frac{8}{3}

Usa F(x)=x³/3 y calcula 8/3−0. Un decimal en la calculadora es una aproximación a este valor exacto.

∫202 x dx\int_{2}^{0} 2\,x\,\mathrm{d}x
−4-4

F(0)−F(2)=0−4. No reordenes los límites sin cambiar el signo.

∫−11x dx\int_{-1}^{1} x\,\mathrm{d}x
00

Las dos contribuciones con signo se cancelan. El área geométrica total es 1, no 0.

Errores comunes

  • • Restar F(b) de F(a).
  • • Mezclar límites en x con una primitiva en u.
  • • Dejar +C en un resultado definido numérico.
  • • Aplicar la resta de extremos a través de una singularidad.
  • • Tomar el valor absoluto del resultado final para afirmar que es el área total.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Estos enlaces utilizan límites finitos. Los métodos simbólicos y numéricos tienen restricciones de compatibilidad distintas; la etiqueta de verificación describe la comprobación real, no una garantía para cualquier integrando.

Calculadora de integrales definidas:x2x^{2}Calculadora de integrales definidas:2 x2\,xCalculadora de integrales definidas:xx
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de integrales definidas

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Por qué una integral definida no tiene +C?+

Cualquier constante común de la primitiva se cancela en [F(b)+C]−[F(a)+C].

¿Cambio los límites durante la sustitución?+

Sí, si terminas el cálculo en la nueva variable. En caso contrario, vuelve a la variable original antes de usar los límites originales.

¿Una integral definida puede ser negativa?+

Sí. Mide acumulación con signo y también depende de la orientación de los límites, no solo del área geométrica.

Conclusión

Evalúa integrales definidas comprobando primero el intervalo, eligiendo un método de primitivas y calculando superior menos inferior. Mantén visibles los cambios de variable, los signos y la diferencia entre integral y área.

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