定積分方法

如何計算定積分：上下限與完整步驟

計算定積分時，先找反導函數，再用上限處的值減去下限處的值。相減前，先檢查定義域、上下限，以及題目要衡量的量。

先看結論

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

此形式的微積分基本定理，要求 f 在有限閉區間連續，且 F′=f。奇異點與瑕積分需要另外分析。

逐步計算定積分

按原題讀取下限 a 與上限 b。檢查被積函數在整個區間都有定義；例如 1/x 在零點有極點，不能盲目相減端點值。

找出滿足 F′=f 的 F。多項式可能使用冪法則；複合算式可能需要代換；乘積可能需要分部積分。方法由被積函數決定，不是由上下限決定。

計算 F(b)−F(a)，並用括號包住完整的下限值。同一個常數 C 會消去，因此定積分結果不需要 +C。

若令 u=g(x)，就轉換兩個上下限並對 u 積分，或先換回 x 再使用原上下限。對 ∫₀¹ 2x·exp(x²) dx，令 u=x²，上下限變成 0 與 1，結果為 e−1。

檢查方向與正負號。上下限交換會使結果變號。積分是帶符號的量；求幾何總面積時，要在符號改變處分段，再加上非負的貢獻。

1
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)
2
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
3
∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

解題範例

∫02x2 dx\int_{0}^{2} x^{2}\,\mathrm{d}x
83\frac{8}{3}

使用 F(x)=x³/3，計算 8/3−0。計算機顯示的小數是此精確值的近似。

∫202 x dx\int_{2}^{0} 2\,x\,\mathrm{d}x
−4-4

F(0)−F(2)=0−4。不能交換上下限而不改變符號。

∫−11x dx\int_{-1}^{1} x\,\mathrm{d}x
00

兩個帶符號的貢獻互相抵消。幾何總面積為 1，不是 0。

常見錯誤

  • • 用 F(a) 減 F(b)。
  • • 將 x 的上下限與 u 的反導函數混用。
  • • 在數值定積分結果保留 +C。
  • • 跨過奇異點直接相減端點值。
  • • 對最終結果取絕對值，就宣稱是總面積。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

這些連結使用有限上下限。符號法與數值法的支援限制不同；顯示的驗證標籤說明實際做了哪種檢查，不保證適用每個被積函數。

定積分計算機:x2x^{2}定積分計算機:2 x2\,x定積分計算機:xx
開啟未填入範例的計算機: 定積分計算機

參考資料

常見問題

為什麼定積分沒有 +C？+

反導函數的共同常數會在 [F(b)+C]−[F(a)+C] 中消去。

代換時要改上下限嗎？+

若以新變數完成計算，就要改；否則先換回原變數，再使用原上下限。

定積分可以是負數嗎？+

可以。它衡量帶符號的累積，也與上下限方向有關，不只是幾何面積。

重點整理

先檢查區間，再選擇反導函數方法，最後以上限值減下限值。解題時應清楚保留變數轉換、符號，以及積分與面積的區別。

比較使用方案