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Derivada de arcsin(x): demostración con la función inversa y límites en los extremos

La derivada de arcsin(x) es el recíproco de una raíz cuadrada. Es importante distinguir el dominio de la función del de su derivada: arcsin existe en ±1, pero su derivada crece sin cota al aproximarse a un extremo desde el interior.

Respuesta directa

d/dx arcsin(x)=1/√(1−x²), para −1<x<1.

La función real está definida en [−1,1], pero solo tiene una derivada bilateral finita en el interior.

Derivada de arcsin(x) paso a paso

Sea y=arcsin x. Entonces sin y=x y el ángulo principal y está entre −π/2 y π/2.

La derivación implícita da cos y·y′=1. En el interior, cos y es positivo.

Usando cos y=√(1−sin²y)=√(1−x²) se obtiene la derivada.

Para arcsin(x/2), deriva primero el interior: (1/2)/√(1−x²/4). El dominio de la derivada es −2<x<2.

1
sin y=x → cos y · y′=1
2
y′=1/√(1−x²)
3
(arcsin(g(x)))′=g′(x)/√(1−g(x)²)

Ejemplos resueltos

d/dx arcsin(x)
11−x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Solo en el interior del dominio.

d/dx arcsin(x/2)
12 1−x24\frac{1}{2\,\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}

Se requiere |x|<2.

d/dx arcsin(x²)
2 x1−x4\frac{2\,x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

La fórmula es finita para |x|<1.

Errores comunes

  • • Confundir arcsin con 1/sin.
  • • Usar la fórmula en los extremos.
  • • Omitir la derivada interior.

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

El motor acepta asin(x). Mantén el dominio más restringido de la derivada aunque la función esté definida en los extremos.

Derivadas:asin(x)
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Qué significa sin⁻¹ aquí?+

En la notación de funciones inversas significa arcsin, no el recíproco csc.

¿Por qué se usa la raíz cuadrada positiva?+

En el rango principal de arcsin, el coseno es no negativo y es positivo en el interior.

¿Qué nombre acepta el ejemplo precargado?+

asin(x) es la notación que acepta el analizador para el seno inverso.

Conclusión

Para derivar arcsin(x), empieza por el dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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