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Derivada de arccos(x): signo negativo, dominio y regla de la cadena
La derivada de arccos(x) tiene el mismo denominador con raíz cuadrada que arcsin, pero con signo negativo. En su rango principal, el coseno es decreciente, así que su función inversa también lo es.
Respuesta directa
El rango principal real de arccos es [0,π]. La función existe en los extremos, pero allí no se aplica la fórmula de la derivada finita.
Derivada de arccos(x) paso a paso
Sea y=arccos x; entonces cos y=x y, en el interior, 0<y<π.
Deriva: −sin y·y′=1. Como sin y es positivo aquí, puedes dividir entre él sin cambiar su signo.
Usa sin y=√(1−cos²y)=√(1−x²) para obtener −1/√(1−x²).
Para arccos(2x), la regla de la cadena da −2/√(1−4x²), con |x|<1/2 para una derivada finita.
Ejemplos resueltos
El signo es negativo.
El dominio de la derivada es |x|<1/2.
La suma es π/2 en [−1,1]; deriva en el interior.
Errores comunes
- • Copiar el signo positivo de arcsin.
- • Elevar al cuadrado g′(x) en vez de g(x) dentro de la raíz.
- • Ignorar la derivabilidad en los extremos.
Prueba el ejemplo compatible con la calculadora
El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.
Usa acos en lugar de un alias de presentación no compatible. La restricción de la fórmula en los extremos sigue siendo válida.
Abrir la calculadora sin un ejemplo: DerivadasReferencias
Preguntas frecuentes
¿Por qué la derivada es negativa?+
El coseno es decreciente en el intervalo principal usado para su inversa.
¿cos⁻¹ es un recíproco?+
Aquí significa arccos; sec es el recíproco del coseno.
¿Cómo se escribe en la calculadora?+
Usa acos(x), como en el ejemplo ejecutable.
Conclusión
Para derivar arccos(x), empieza por el dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.
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