微積分學習

arccos(x) 的導數：負號、定義域與連鎖律

餘弦在取反函數的主值區間內遞減。

這裡表示 arccos；餘弦的倒數是 sec。

請使用 acos(x)，與可執行的預填例題相同。

arccos(x) 的導數與 arcsin 有相同的根式分母，但多了負號。餘弦在主值區間內遞減，因此其反函數也遞減。

先看結論

在 −1<x<1 時，d/dx arccos(x)=−1/√(1−x²)。

實數 arccos 的主值範圍為 [0,π]。函數在端點有定義，但有限的導數公式不適用。

arccos(x) 導數的完整推導

設 y=arccos x，則 cos y=x，區間內部有 0<y<π。

微分得到 −sin y·y′=1。此處 sin y 為正，除以它時不會改變符號。

利用 sin y=√(1−cos²y)=√(1−x²)，得到 −1/√(1−x²)。

對 arccos(2x)，連鎖律給出 −2/√(1−4x²)。導數為有限值要求 |x|<1/2。

cos y=x → −sin y · y′=1

y′=−1/√(1−x²)

(arccos(g(x)))′=−g′(x)/√(1−g(x)²)

d/dx arccos(x)

\frac{-1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

符號為負。

d/dx arccos(2x)

\frac{-2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}

導數的定義域為 |x|<1/2。

d/dx [arcsin(x)+arccos(x)]

0

兩函數在 [−1,1] 上的和為 π/2；微分時須限制在區間內部。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

請使用 acos，而不是尚不支援的顯示別名。公式仍須遵守端點限制。

為什麼導數為負？+

餘弦在取反函數的主值區間內遞減。

cos⁻¹ 是倒數嗎？+

這裡表示 arccos；餘弦的倒數是 sec。

計算機使用什麼拼寫？+

請使用 acos(x)，與可執行的預填例題相同。

計算 arccos(x) 的導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。