微積分學習

arcsin(x) 的導數：反函數推導與端點極限

在反函數記號中，它表示 arcsin，不是倒數 csc。

arcsin 的主值範圍使餘弦非負，且在區間內部為正。

剖析器使用 asin(x) 表示反正弦函數。

arcsin(x) 的導數是根式的倒數。要區分函數與導數的定義域：arcsin 在 ±1 有定義，但從區間內部趨近端點時，其導數會無限增大。

先看結論

在 −1<x<1 時，d/dx arcsin(x)=1/√(1−x²)。

實數函數的定義域為 [−1,1]，但有限的雙側導數只存在於區間內部。

arcsin(x) 導數的完整推導

設 y=arcsin x，則 sin y=x，主值角度 y 位於 −π/2 與 π/2 之間。

隱函數微分得到 cos y·y′=1。在區間內部，cos y 為正。

利用 cos y=√(1−sin²y)=√(1−x²)，即可得到導數。

對 arcsin(x/2)，先求內層導數，得到 (1/2)/√(1−x²/4)。導數的定義域為 −2<x<2。

sin y=x → cos y · y′=1

y′=1/√(1−x²)

(arcsin(g(x)))′=g′(x)/√(1−g(x)²)

d/dx arcsin(x)

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

僅適用於定義域內部。

d/dx arcsin(x/2)

\frac{1}{2\,\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}

要求 |x|<2。

d/dx arcsin(x²)

\frac{2\,x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

這個公式在 |x|<1 上為有限值。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

引擎接受 asin(x)。即使函數在端點有定義，仍須保留導數較嚴格的定義域限制。

這裡的 sin⁻¹ 是什麼意思？+

在反函數記號中，它表示 arcsin，不是倒數 csc。

為什麼取正平方根？+

arcsin 的主值範圍使餘弦非負，且在區間內部為正。

預填例題接受哪種拼寫？+

剖析器使用 asin(x) 表示反正弦函數。

計算 arcsin(x) 的導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。