Aprender cálculo

Volúmenes de revolución: plantear discos, arandelas y capas cilíndricas

El cálculo de un volumen de revolución empieza con una sección transversal, no con una integral que ya conozcas. Un disco tiene un radio; una arandela elimina un disco interior. El método y la variable de integración dependen de la dirección del eje de giro.

Respuesta directa

Al girar alrededor del eje x con radios no negativos, V=π∫ₐᵇ [R(x)²−r(x)²] dx.

Usa cortes perpendiculares para discos y arandelas, y paralelos para capas cilíndricas. Las distancias se miden desde el eje de giro indicado.

Volúmenes de revolución paso a paso

Gira la región bajo y=x en [0,1] alrededor del eje x. Cada corte perpendicular es un disco de radio x, con área πx².

Al integrar las áreas de los discos se obtiene π[x³/3]₀¹=π/3 unidades cúbicas. La altura x se eleva al cuadrado antes de integrar.

Para un radio exterior 2 e interior x en [0,1], integra π(4−x²): resulta 11π/3. Elevar al cuadrado la diferencia (2−x) describiría otra región.

Una capa cilíndrica tiene una circunferencia de 2π por el radio y una altura. Girar la región bajo y=x alrededor del eje y en [0,1] da 2π∫₀¹ x·x dx=2π/3.

Para un eje y=k, los radios son distancias |f(x)−k|. La herramienta de vista previa solo admite el eje x con radios polinómicos ordenados y no negativos; transforma otros planteamientos por tu cuenta únicamente si está justificado matemáticamente.

1
Vdisk=π∫₀¹ x² dx=π/3
2
Vwasher=π∫₀¹ (4−x²) dx=11π/3
3
Vshell=2π∫₀¹ x² dx=2π/3

Ejemplos resueltos

Bajo y=x alrededor del eje x, [0,1]
π3\frac{\pi}{3}

El radio del disco es x.

Radio exterior 2, radio interior x, [0,1]
11 π3\frac{11\,\pi}{3}

Resta los cuadrados de los radios.

Bajo y=x alrededor del eje y, [0,1]
2 π3\frac{2\,\pi}{3}

Usa capas cilíndricas, no el mismo integrando de discos.

Errores comunes

  • • Usar el área de la región en lugar del área de la sección transversal.
  • • Elevar R−r al cuadrado en vez de restar R²−r².
  • • Omitir el eje de giro.

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

El ejemplo contiene la sección de disco πx², no la curva original x. El planteamiento geométrico debe elegirse antes de integrar.

Calculadora de integrales definidas:π x2\pi\,x^{2}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Calculadora de integrales definidas

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Cuándo es cero el radio interior?+

Cuando la región alcanza el eje de giro sin dejar un hueco en ese corte.

¿Dan resultados distintos las capas y las arandelas?+

Los planteamientos correctos para el mismo sólido coinciden; ejes distintos pueden describir sólidos distintos.

¿La herramienta actual puede girar alrededor de cualquier eje?+

No. El modo de volumen compatible utiliza discos o arandelas alrededor del eje x, con radios no negativos de grado dos o inferior.

Conclusión

Los volúmenes de revolución parten del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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