Derivadas de raíces

Derivada de √x: fórmula, dominio y x=0

La función raíz cuadrada existe en cero, pero su derivada ordinaria finita no. Esto distingue el dominio de la función del dominio de la derivada.

Respuesta directa

ddxx=12x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

En los reales, √x existe para x≥0, pero esta derivada finita requiere x>0.

Elección del método: Derivada de sqrt(x)

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa las reglas de la potencia y de la cadena y después examina los dominios del radicando y del denominador.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

En los reales, √x existe para x≥0, pero esta derivada finita requiere x>0.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Registra dónde está definido el radicando y dónde el denominador de la derivada no es cero.

Racionalizar el cociente incremental

Empieza con [√(x+h)−√x]/h.

Multiplica por el conjugado dividido por sí mismo.

El numerador se convierte en h y se cancela, de modo que queda 1/[√(x+h)+√x].

El límite es 1/(2√x) para x>0; en cero, las pendientes por la derecha no tienen un límite finito.

1
x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}
2
ddxx=12x−1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}
3
ddxg(x)=g′(x)2g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{g(x)}=\frac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}

Ejemplos resueltos

ddxx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}
12x\frac{1}{2\sqrt{x}}

Válida para x>0.

ddxx2+4\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x^2+4}
xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

El radicando permanece positivo.

ddx3x+1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{3x+1}
323x+1\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

Se requiere 3x+1>0 para una derivada finita.

Errores comunes

  • • Omitir 1/2.
  • • Olvidar la derivada del radicando.
  • • Afirmar que la fórmula es finita en cero.
  • • Sustituir √(x²) por x en lugar de |x|.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[√x]'=1/√x

Por qué falla

Falta el coeficiente 1/2.

Corrección

1/(2√x)

Intento incorrecto

[√(x²+4)]'=1/[2√(x²+4)]

Por qué falla

Falta la derivada del radicando 2x.

Corrección

xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

ddx[x2+4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{x^{2} + 4}\right]

Comprueba antes de resolver

El radicando permanece positivo.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}
ddx[3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{3\,x + 1}\right]

Comprueba antes de resolver

Se requiere 3x+1>0 para una derivada finita.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

32 3 x+1\frac{3}{2\,\sqrt{3\,x + 1}}

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:x\sqrt{x}Derivadas:x2+4\sqrt{x^{2} + 4}Derivadas:3 x+1\sqrt{3\,x + 1}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿Por qué no es derivable en cero?+

Las pendientes secantes por la derecha crecen sin una cota finita.

¿Puede existir la derivada de una raíz donde su radicando es cero?+

A veces, después de simplificar, pero la fórmula directa requiere un análisis aparte en esos puntos.

¿√(x²)=x?+

En los reales es |x|, no x cuando la entrada es negativa.

Conclusión

Trata √x como una potencia, multiplica por la derivada interior y distingue x≥0 de la condición de derivación x>0.

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