根式微分

√x 的導數：公式、定義域與 x=0

平方根函數在零點有定義，卻沒有有限的普通導數。這說明函數的定義域與導數的定義域不同。

先看結論

ddxx=12x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

實數範圍內，√x 在 x≥0 有定義，但此有限導數要求 x>0。

什麼時候使用√x 的導數？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

使用冪法則與連鎖律，再檢查根號內及分母的定義域。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

實數範圍內，√x 在 x≥0 有定義，但此有限導數要求 x>0。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

記錄根號內有定義的範圍，以及導數分母不為零的地方。

將差商有理化

從 [√(x+h)−√x]/h 開始。

乘上共軛式與自身的比值。

分子成為 h，約分後留下 1/[√(x+h)+√x]。

x>0 時，極限是 1/(2√x)；在零點，右側斜率沒有有限極限。

1
x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}
2
ddxx=12x−1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}
3
ddxg(x)=g′(x)2g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{g(x)}=\frac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}

解題範例

ddxx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}
12x\frac{1}{2\sqrt{x}}

適用於 x>0。

ddxx2+4\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x^2+4}
xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

根號內始終為正。

ddx3x+1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{3x+1}
323x+1\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

有限導數要求 3x+1>0。

常見錯誤

  • • 漏掉 1/2。
  • • 忘記根號內函數的導數。
  • • 宣稱公式在零點仍有有限值。
  • • 將 √(x²) 當成 x，而不是 |x|。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[√x]'=1/√x

錯在哪裡

漏掉係數 1/2。

正確處理

1/(2√x)

錯誤嘗試

[√(x²+4)]'=1/[2√(x²+4)]

錯在哪裡

漏掉根號內函數的導數 2x。

正確處理

xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

ddx[x2+4]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{x^{2} + 4}\right]

作答前檢查

根號內始終為正。

查看參考答案

參考答案

xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}
ddx[3 x+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{3\,x + 1}\right]

作答前檢查

有限導數要求 3x+1>0。

查看參考答案

參考答案

32 3 x+1\frac{3}{2\,\sqrt{3\,x + 1}}

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:x\sqrt{x}微分:x2+4\sqrt{x^{2} + 4}微分:3 x+1\sqrt{3\,x + 1}
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

為什麼零點不可微分？+

從右側接近時，割線斜率無界增長。

根號內為零時，根式還可能有導數嗎？+

化簡後有時可以，但不能直接套用公式，必須另外分析。

√(x²)=x 嗎？+

在實數範圍內，它是 |x|；輸入為負數時，不等於 x。

重點整理

將 √x 看成冪函數，乘上內層導數，並區分 x≥0 與導數要求的 x>0。

比較使用方案