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Derivada del logaritmo de base a: cambio de base y derivadas interiores

La derivada de un logaritmo depende de su base. El cambio de base expresa log_a(x)=ln(x)/ln(a), de modo que la derivada del logaritmo natural se multiplica por una constante. En esta calculadora, log(x) sin otra indicación significa ln(x), no automáticamente base diez.

Respuesta directa

d/dx log_a(x)=1/[x ln(a)] para a>0, a≠1 y x>0.

La base es una constante positiva distinta de uno. Una base variable requiere otra derivada.

Derivada del logaritmo de base a paso a paso

Para a constante, ln(a) no depende de x. Saca 1/ln(a) fuera de la derivación.

Deriva ln(x) para obtener 1/x, conservando la restricción del dominio real x>0.

Para log_a(g(x)), la regla de la cadena da g′(x)/[g(x)ln(a)] y requiere g(x)>0.

Cuando 0<a<1, ln(a)<0: el logaritmo es decreciente y su derivada es negativa. Para a=1, el cambio de base divide entre cero y no existe un logaritmo con esa base.

Si la base depende de x, aplica la regla del cociente a ln(g(x))/ln(a(x)); no trates ln(a(x)) como constante.

1
log_a(x)=ln(x)/ln(a)
2
(log_a(x))′=1/(x ln(a))
3
(log_a(g(x)))′=g′(x)/(g(x)ln(a))

Ejemplos resueltos

d/dx log_10(x)
1/(x ln 10)

Introduce ln(x)/ln(10).

d/dx log_2(x²+1)
2x/[(x²+1)ln 2]

El argumento siempre es positivo.

d/dx log_(1/2)(x)
1/[x ln(1/2)]

La derivada es negativa para x>0.

Errores comunes

  • • Suponer que todas las interfaces usan la misma base para log.
  • • Usar base 1.
  • • Aplicar la regla de base constante a log_x(x+1).

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

El ejemplo fija la base en 10. No interpreta la letra a como una constante numérica sin especificar.

Derivadas:ln⁡xln⁡10\frac{\ln x}{\ln 10}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Referencias

Preguntas frecuentes

¿log significa ln en este sitio?+

Sí. El motor actual interpreta log y ln como logaritmos naturales.

¿Cómo introduzco otra base?+

Usa ln(argumento)/ln(constantePositiva), por ejemplo ln(x)/ln(10).

¿log(x) necesita una página distinta de ln(x)?+

No. La guía existente del logaritmo natural ya cubre ese alias; esta lección aborda un problema realmente distinto que depende de la base.

Conclusión

La derivada del logaritmo de base a parte del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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