微積分學習

以 a 為底的對數微分：換底公式與內層導數

對數函數的導數取決於底數。換底公式將 log_a(x) 寫成 ln(x)/ln(a)，因此導數是自然對數導數乘上一個常數。本計算機中的 log(x) 表示 ln(x)，並不是自動以 10 為底。

先看結論

a>0、a≠1 且 x>0 時，d/dx log_a(x)=1/[x ln(a)]。

底數必須是正的常數，而且不能為 1。底數若為變數，就需要不同的微分方法。

以 a 為底的對數導數完整推導

a 為常數時，ln(a) 不依賴 x，可以將 1/ln(a) 提到微分運算外。

對 ln(x) 微分得到 1/x，同時保留實數定義域限制 x>0。

對 log_a(g(x))，連鎖律給出 g′(x)/[g(x)ln(a)]，且要求 g(x)>0。

0<a<1 時，ln(a)<0，因此對數函數遞減，其導數也為負。a=1 時，換底公式會除以零，這個底數的對數不存在。

底數依賴 x 時，應對 ln(g(x))/ln(a(x)) 使用商法則，不能把 ln(a(x)) 當成常數。

log_a(x)=ln(x)/ln(a)

(log_a(x))′=1/(x ln(a))

(log_a(g(x)))′=g′(x)/(g(x)ln(a))

d/dx log_10(x)

1/(x ln 10)

請用 ln(x)/ln(10) 輸入。

d/dx log_2(x²+1)

2x/[(x²+1)ln 2]

對數的引數恆為正。

d/dx log_(1/2)(x)

1/[x ln(1/2)]

x>0 時，導數為負。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

預填例題將底數固定為 10，並不會把字母 a 當成尚未指定數值的常數。

\frac{\ln x}{\ln 10}

本網站的 log 表示 ln 嗎？+

是。目前引擎將 log 與 ln 都視為自然對數。

其他底數要怎麼輸入？+

使用 ln(argument)/ln(positiveConstant)，例如 ln(x)/ln(10)。

log(x) 需要另設一篇與 ln(x) 分開的指南嗎？+

不需要。既有的自然對數指南已涵蓋這個別名；本篇處理的是確實會隨底數改變的不同任務。

計算不同底數的對數導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。