Derivadas de recíprocos

Derivada de 1/x: regla de la potencia, regla de la cadena y dominio

La derivada de 1/x es −1/x², no ln(x). Escribe el recíproco como potencia negativa para ver con claridad el signo y el exponente. La exclusión de cero sigue formando parte de la respuesta.

Respuesta directa

ddx(1x)=−1x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}

La función y su derivada solo están definidas para x ≠ 0. Para 1/g(x), se requiere g(x) ≠ 0 y que g sea derivable.

Derivada de 1/x con la regla de la potencia

En cada intervalo x<0 o x>0, escribe 1/x=x⁻¹. Esta transformación no le da un valor a la función en cero.

Aplica la regla de la potencia: multiplica por −1 y reduce el exponente a −2. Por tanto, la derivada es −x⁻²=−1/x².

La regla del cociente proporciona otra demostración: (1/x)′=(0·x−1·1)/x². Se obtiene la misma expresión con el mismo punto excluido.

Para el recíproco 1/g(x), usa la regla de la cadena: la derivada exterior es −g(x)⁻² y la interior es g′(x). Multiplícalas; no sustituyas g(x) por g′(x) en el denominador.

1
1x=x−1\frac{1}{x}=x^{-1}
2
ddxx−1=−x−2=−1x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
3
ddx[1g(x)]=−g′(x)[g(x)]2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g^{\prime}(x)}{[g(x)]^2}

Ejemplos resueltos

ddx[1x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{x}\right]
−1x2\frac{-1}{x^{2}}

Conserva x ≠ 0; la pendiente es negativa en ambos intervalos del dominio.

ddx[1x2+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{x^{2} + 1}\right]
−2 x(x2+1)2\frac{-2\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

La derivada interior es 2x; el denominador es positivo para todo x real.

ddx[13 x+2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{3\,x + 2}\right]
−3(3 x+2)2\frac{-3}{\left(3\,x + 2\right)^{2}}

La derivada interior es 3; excluye x=−2/3.

Errores comunes

  • • Usar la integral ln|x| en lugar de la derivada.
  • • Omitir el signo menos o no elevar el denominador al cuadrado.
  • • Permitir x=0 porque la expresión simplificada resulta familiar.
  • • Olvidar g′(x) cuando el denominador es compuesto.

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:1x\frac{1}{x}Derivadas:1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1}Derivadas:13 x+2\frac{1}{3\,x + 2}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Referencias

Preguntas frecuentes

¿La derivada de 1/x es positiva para x negativo?+

No. x² es positivo siempre que x ≠ 0, por lo que −1/x² es negativo a ambos lados de cero.

¿1/x es derivable en cero?+

No. La función original no está definida allí, de modo que no tiene derivada en cero.

¿Qué diferencia hay entre derivar e integrar 1/x?+

Derivar da −1/x². Integrar da ln|x|+C en un intervalo que excluya cero.

Conclusión

Para derivar 1/x, usa el exponente −1, conserva el signo negativo y excluye cero. Si el denominador es compuesto, multiplica por su derivada antes de simplificar.

Comparar planes