倒數函數微分

1/x 的導數：冪法則、連鎖律與定義域

1/x 的導數是 −1/x²，不是 ln(x)。將倒數寫成負次方，就能清楚看見負號與指數。排除零點仍是答案的一部分。

先看結論

ddx(1x)=−1x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}

函數與導數只在 x ≠ 0 有定義。對 1/g(x)，要求 g(x) ≠ 0 且 g 可微分。

使用冪法則求 1/x 的導數

在 x<0 或 x>0 的區間，將 1/x 寫成 x⁻¹。這項改寫不會讓函數在零點有值。

套用冪法則：乘上 −1，將指數降為 −2。因此導數是 −x⁻²=−1/x²。

商法則提供另一種推導：(1/x)′=(0·x−1·1)/x²。得到相同算式，也排除相同的點。

對倒數函數 1/g(x)，使用連鎖律：外層導數為 −g(x)⁻²，內層導數為 g′(x)。將兩者相乘，不要把分母內的 g(x) 換成 g′(x)。

1
1x=x−1\frac{1}{x}=x^{-1}
2
ddxx−1=−x−2=−1x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
3
ddx[1g(x)]=−g′(x)[g(x)]2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g^{\prime}(x)}{[g(x)]^2}

解題範例

ddx[1x]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{x}\right]
−1x2\frac{-1}{x^{2}}

保留 x ≠ 0；兩個定義域區間的斜率都為負。

ddx[1x2+1]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{x^{2} + 1}\right]
−2 x(x2+1)2\frac{-2\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

內層導數為 2x；分母對所有實數 x 都為正。

ddx[13 x+2]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{3\,x + 2}\right]
−3(3 x+2)2\frac{-3}{\left(3\,x + 2\right)^{2}}

內層導數為 3；排除 x=−2/3。

常見錯誤

  • • 用積分 ln|x| 取代導數。
  • • 漏掉負號，或未將分母平方。
  • • 因為化簡形式很熟悉，就允許 x=0。
  • • 分母是複合函數時，忘記 g′(x)。

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:1x\frac{1}{x}微分:1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1}微分:13 x+2\frac{1}{3\,x + 2}
開啟未填入範例的計算機: 微分

參考資料

常見問題

x 為負數時，1/x 的導數是正數嗎？+

不是。x ≠ 0 時，x² 為正，因此零點兩側的 −1/x² 都是負數。

1/x 在零點可微分嗎？+

不可以，原函數在該點無定義，因此零點沒有導數。

1/x 的微分與積分有何不同？+

微分得到 −1/x²；在不含零點的區間，積分得到 ln|x|+C。

重點整理

求 1/x 的導數時，使用指數 −1，保留負號並排除零點。分母是複合函數時，先乘上它的導數再化簡。

比較使用方案