對數積分

1/x 的積分：為什麼是 ln|x| + C

倒數函數在正、負半軸都對應相同形式的對數反導函數。絕對值將兩種公式合併，但沒有消除奇異點。

先看結論

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\left|x\right| + C

被積函數只在 x≠0 有定義，因此反導函數適用於不跨過零點的區間。

什麼時候使用1/x 的積分？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

尋找 g′(x)/g(x)，它的積分是 ln|g(x)|。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

被積函數只在 x≠0 有定義，因此反導函數適用於不跨過零點的區間。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

微分 ln|g(x)|，確認在所述區間內還原原始比值。

分別微分兩側的 ln|x|

x>0 時，ln|x|=ln(x)，導數為 1/x。

x<0 時，ln|x|=ln(−x)，使用連鎖律仍得到導數 1/x。

零點處，兩種算式都沒有定義。

不同連通區間的常數可以不同；跨過零點的定積分需要瑕積分分析。

1
x>0: [ln(x)]'=1/x
2
x<0: [ln(−x)]'=1/x
3
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\left|x\right| + C

解題範例

∫1x dx\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

保留絕對值。

∫22 x+3 dx\int \frac{2}{2\,x + 3}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣2 x+3∣+C\ln\left|2\,x + 3\right| + C

分子配合內層導數。

∫121x dx\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
ln⁡2\ln 2

此區間避開零點。

常見錯誤

  • • x 為負數時仍寫 ln(x)。
  • • 指數 −1 時使用冪積分公式。
  • • 直接跨過零點計算。
  • • 漏掉內層因子。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

∫1x dx=x00\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{0}}{0}

錯在哪裡

n=−1 時，冪積分公式無定義。

正確處理

ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

錯誤嘗試

ln(x)+C （所有 x）≠0

錯在哪裡

負數輸入時，ln(x) 沒有實數值。

正確處理

ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

∫22 x+3 dx\int \frac{2}{2\,x + 3}\,\mathrm{d}x

作答前檢查

分子配合內層導數。

查看參考答案

參考答案

ln⁡∣2 x+3∣+C\ln\left|2\,x + 3\right| + C
∫121x dx\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x

作答前檢查

此區間避開零點。

查看參考答案

參考答案

ln⁡2\ln 2

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

積分:1x\frac{1}{x}積分:22 x+3\frac{2}{2\,x + 3}
開啟未填入範例的計算機: 積分

常見問題

為什麼不能使用冪積分公式？+

n=−1 時，反導函數公式會除以 n+1=0。

兩側的 C 可以不同嗎？+

可以，因為定義域分成不連通的區間。

從 −1 到 1 的積分存在嗎？+

通常的瑕積分不存在，因為兩側各自發散。

重點整理

在零點以外使用 ln|x|，保留定義域的斷點，不要把奇異區間當成普通的端點代入問題。

比較使用方案