Integrales logarítmicas

Integral de 1/x: por qué es ln|x| + C

El recíproco tiene la misma primitiva logarítmica en las semirrectas positiva y negativa. El valor absoluto combina esas fórmulas sin borrar la singularidad.

Respuesta directa

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\left|x\right| + C

El integrando solo está definido para x≠0, de modo que las primitivas se aplican en intervalos que no crucen cero.

Elección del método: Integral de 1/x

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Busca g′(x)/g(x), cuya integral es ln|g(x)|.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

El integrando solo está definido para x≠0, de modo que las primitivas se aplican en intervalos que no crucen cero.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Deriva ln|g(x)| y comprueba el cociente original en el intervalo indicado.

Derivar ln|x| en cada lado

Para x>0, ln|x|=ln(x) y su derivada es 1/x.

Para x<0, ln|x|=ln(−x), cuya derivada mediante la regla de la cadena vuelve a ser 1/x.

En cero ninguna de las expresiones está definida.

Las constantes pueden diferir en intervalos separados y una integral definida que cruce cero necesita análisis de integral impropia.

1
x>0: [ln(x)]'=1/x
2
x<0: [ln(−x)]'=1/x
3
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\left|x\right| + C

Ejemplos resueltos

∫1x dx\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

Conserva el valor absoluto.

∫22 x+3 dx\int \frac{2}{2\,x + 3}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣2 x+3∣+C\ln\left|2\,x + 3\right| + C

El numerador coincide con la derivada interior.

∫121x dx\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
ln⁡2\ln 2

El intervalo evita cero.

Errores comunes

  • • Escribir ln(x) para x negativo.
  • • Usar la regla de la potencia con exponente −1.
  • • Cruzar cero directamente.
  • • Omitir el factor interior.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

∫1x dx=x00\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{0}}{0}

Por qué falla

La fórmula de la potencia no está definida en n=−1.

Corrección

ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

Intento incorrecto

ln(x)+C para todo x≠0

Por qué falla

ln(x) no es real para x negativo.

Corrección

ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right| + C

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

∫22 x+3 dx\int \frac{2}{2\,x + 3}\,\mathrm{d}x

Comprueba antes de resolver

El numerador coincide con la derivada interior.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

ln⁡∣2 x+3∣+C\ln\left|2\,x + 3\right| + C
∫121x dx\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x

Comprueba antes de resolver

El intervalo evita cero.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

ln⁡2\ln 2

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Integrales:1x\frac{1}{x}Integrales:22 x+3\frac{2}{2\,x + 3}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Preguntas frecuentes

¿Por qué no se usa la regla de la potencia?+

La fórmula de la primitiva dividiría entre n+1=0 cuando n=−1.

¿Puede C ser distinta en cada lado?+

Sí, porque el dominio contiene intervalos separados.

¿Existe la integral de −1 a 1?+

No como integral impropia ordinaria: cada lado diverge.

Conclusión

Usa ln|x| fuera de cero, conserva la separación del dominio y nunca trates un intervalo singular como una evaluación ordinaria de extremos.

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