Expresiones racionales
Descomposición en fracciones parciales: planteamiento, coeficientes y comprobaciones
La descomposición en fracciones parciales reescribe una expresión racional como fracciones más sencillas. La decisión principal depende del denominador: factores distintos, potencias repetidas y cuadráticos irreducibles necesitan plantillas de numerador diferentes. Descomponer es un paso algebraico, no la integración en sí.
Respuesta directa
Conserva todas las restricciones del denominador original; aquí x ≠ −1,−2. La calculadora trata expresiones racionales compatibles, no todas las factorizaciones posibles.
Pasos de descomposición antes de integrar
Compara primero los grados. Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, realiza división polinómica y descompón solo la fracción propia del resto.
Factoriza el denominador y registra las raíces excluidas. Para (x+1)(x+2), usa A/(x+1)+B/(x+2). Un factor repetido (x−r)ᵏ requiere un término para cada potencia de 1 a k.
Multiplica la identidad por el denominador común. Aquí, 3x+5=A(x+2)+B(x+1). Al comparar coeficientes, A+B=3 y 2A+B=5, por lo que A=2 y B=1.
Un cuadrático irreducible como x²+1 requiere un numerador Ax+B y no solo A. Esta es la plantilla matemática; no supongas que todos esos casos están implementados en la calculadora.
Recombina las fracciones con denominador común y compara el numerador completo con el original. Resolver coeficientes no basta si se omitió un término de la plantilla.
Ejemplos resueltos
Factores lineales distintos; excluye −1 y −2.
Los numeradores se recombinan en 1; excluye 0 y −1.
El factor x repetido requiere términos 1/x y 1/x²; excluye 0 y −1.
Errores comunes
- • Descomponer una fracción impropia antes de la división polinómica.
- • Omitir potencias menores de un factor repetido.
- • Usar un numerador constante para un cuadrático irreducible.
- • Eliminar raíces excluidas después de cancelar.
- • Integrar antes de comprobar la descomposición.
Prueba los ejemplos en la calculadora
Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.
El botón abre la herramienta de descomposición, no la de integrales. Comprueba la descomposición antes de usar sus términos en un problema de integración.
Referencias
Preguntas frecuentes
¿Por qué los factores repetidos necesitan varios términos?+
Un denominador (x−r)ᵏ requiere términos para (x−r), (x−r)² hasta (x−r)ᵏ. Omitir uno puede impedir la comparación de coeficientes.
¿Cómo compruebo los coeficientes?+
Multiplica por el denominador original y compara los coeficientes polinómicos, o recombina todas las fracciones en una sola expresión. Conserva las restricciones del dominio original.
¿La descomposición da la integral?+
No. Da una expresión racional equivalente en su dominio. Cada término resultante debe integrarse con la regla adecuada.
Conclusión
Para descomponer en fracciones parciales, comprueba los grados, elige la plantilla completa de factores, resuelve los coeficientes y recombina. Solo entonces usa las fracciones sencillas en un cálculo mayor.
Comparar planes