有理算式

部分分式分解：列式、係數與檢查

部分分式分解將有理算式改寫成較簡單的分式。關鍵在分母結構：不同因式、重複次方與不可約二次式，需要不同的分子形式。分解是代數步驟，不是積分本身。

先看結論

\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2}

保留原分母的所有限制；本例為 x ≠ −1,−2。計算機處理支援的有理算式，不代表支援所有可能的因式分解。

積分前的部分分式分解步驟

先比較多項式次數。若分子次數不小於分母，先做多項式除法，只分解餘下的真分式。

分解分母，並記錄排除的根。對 (x+1)(x+2)，使用 A/(x+1)+B/(x+2)。重複因式 (x−r)ᵏ 需要從 1 到 k 的每個次方各列一項。

恆等式兩側乘上公分母。本例得到 3x+5=A(x+2)+B(x+1)。比較係數得 A+B=3、2A+B=5，因此 A=2、B=1。

x²+1 等不可約二次式，需要分子 Ax+B，而不是只有 A。這是數學上的列式原則，不能假設計算機已實作所有情況。

重新通分，比較完整分子與原式。若列式時漏項，即使求出係數，也不代表正確。

3\,x + 5 = A\,\left(x + 2\right) + B\,\left(x + 1\right)

A+B=3; 2A+B=5

A=2; B=1

\frac{3\,x + 5}{\left(x + 1\right)\,\left(x + 2\right)}

\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}

不同的一次因式；排除 −1 與 −2。

\frac{1}{x\,\left(x + 1\right)}

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

通分後分子為 1；排除 0 與 −1。

\frac{x + 2}{x^{2}\,\left(x + 1\right)}

\frac{-1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}

重複的 x 因式要求同時有 1/x 與 1/x² 項；排除 0 與 −1。

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

按鈕開啟的是分解工具，不是積分求解器。將所得各項用於積分前，先檢查分解。

\frac{3\,x + 5}{x^{2} + 3\,x + 2}

\frac{1}{x\,\left(x + 1\right)}

\frac{x + 2}{x^{2}\,\left(x + 1\right)}

為什麼重複因式需要多項？+

分母 (x−r)ᵏ 需要 (x−r)、(x−r)²，一直到 (x−r)ᵏ 的各項。漏掉一項，可能讓係數配對無法成立。

如何檢查係數？+

乘上原分母並比較多項式係數，或將所有分式重新通分。保留原本的定義域限制。

分解就等於得到積分嗎？+

不是。它只在原定義域上給出等價的有理算式，每一項仍須使用合適法則積分。

部分分式分解要先檢查次數，列出完整的因式形式，求係數，再重新通分。完成後，才把較簡單的分式用於其他計算。