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Integrales impropias: límites infinitos, singularidades y convergencia

Una integral impropia tiene un intervalo infinito o un integrando no acotado. El símbolo de integral no determina por sí solo la convergencia. Trabaja primero en un intervalo finito truncado y después toma el límite lateral adecuado; si hay dos extremos problemáticos, evalúalos por separado.

Respuesta directa

Sustituye cada extremo infinito o singular por su propio límite. Todos los límites necesarios deben converger.

Divide en cada singularidad interior. El valor principal de Cauchy no es la integral impropia ordinaria.

Integrales impropias paso a paso

Para ∫₁^∞ x⁻² dx, integra primero de 1 a R: 1−1/R. Su límite cuando R→∞ es 1, así que la integral impropia converge.

Para ∫₁^∞ 1/x dx, el resultado truncado es ln R. Crece sin cota: la integral diverge aunque el integrando tienda a cero.

En un extremo singular finito, ∫₀¹ x⁻¹ᐟ² dx es el límite de 2−2√ε cuando ε→0⁺. El límite finito es 2.

Para ∫₋₁¹ 1/x dx, divide en cero. La integral izquierda tiende a −∞ y la derecha a +∞. Cancelarlas con un truncamiento simétrico produce un valor principal, no una integral ordinaria convergente.

Según el criterio p, ∫₁^∞ x⁻ᵖ dx converge exactamente cuando p>1; ∫₀¹ x⁻ᵖ dx converge exactamente cuando p<1. La posición de la singularidad cambia la condición.

1
∫1Rx−2 dx\int_{1}^{R} x^{-2}\,\mathrm{d}x
2
∫1Rx−1 dx\int_{1}^{R} x^{-1}\,\mathrm{d}x
3
lim ε→0⁺ ∫ε¹ x⁻¹ᐟ² dx = 2

Ejemplos resueltos

∫1∞1x2 dx\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x
11

El decrecimiento es suficientemente rápido.

∫1∞1x dx\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
Diverge

Tender a cero es necesario aquí, pero no suficiente.

∫₀¹ 1/√x dx
22

Un extremo finito también puede ser impropio.

Errores comunes

  • • Tratar +∞ como un valor de sustitución ordinario.
  • • Tomar un único límite simétrico a través de un polo.
  • • Afirmar la convergencia solo porque f(x)→0.

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

Este ejemplo calcula el truncamiento finito [1,10], no la integral completa con límite infinito. El argumento de convergencia permanece visible en la lección.

Integrales:1x2\frac{1}{x^{2}}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Una aproximación numérica demuestra la convergencia?+

No. Un truncamiento finito no demuestra que una cola infinita tenga una suma finita.

¿Por qué no pueden cancelarse dos términos infinitos?+

La integral ordinaria requiere que cada lado exista por separado con un valor finito.

¿La calculadora admite todas las integrales impropias?+

No. Sus reglas para límites infinitos son limitadas. El botón de esta página solo abre un truncamiento finito.

Conclusión

Las integrales impropias parten del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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