微積分學習

瑕積分：無窮上下限、奇點與收斂

不能。有限截斷區間的計算，無法證明無窮尾端的累積量是有限的。

一般定義下的瑕積分，要求兩側分別存在有限的積分值。

不支援。目前無窮上下限的規則有限。本頁按鈕只會開啟有限區間的截斷例題。

瑕積分的積分區間可能無窮大，或被積函數無界。只寫出積分符號，並不能判斷是否收斂。先在截斷的有限區間上積分，再取適當的單側極限；如果兩端都有問題，必須分別計算。

先看結論

將每個無窮端點或奇異端點分別寫成極限。所有必要的極限都必須收斂。

遇到區間內的奇點，必須在該點分段。柯西主值不等於一般定義下的瑕積分。

瑕積分的完整計算方法

對 ∫₁^∞ x⁻² dx，先從 1 積分到 R，得到 1−1/R。當 R→∞ 時，極限為 1，因此瑕積分收斂。

對 ∫₁^∞ 1/x dx，截斷後的結果是 ln R。它會無限增大，因此積分發散，即使被積函數本身趨近零也一樣。

有限的奇異端點也要取極限：∫₀¹ x⁻¹ᐟ² dx 是 ε→0⁺ 時 2−2√ε 的極限，結果為有限值 2。

對 ∫₋₁¹ 1/x dx，必須在零點分段。左側積分趨近 −∞，右側趨近 +∞。對稱截斷使兩者抵消所得的是主值，不是一般定義下收斂的瑕積分。

p 判別法中，∫₁^∞ x⁻ᵖ dx 恰在 p>1 時收斂；∫₀¹ x⁻ᵖ dx 恰在 p<1 時收斂。奇點的位置不同，收斂條件也不同。

\int_{1}^{R} x^{-2}\,\mathrm{d}x

\int_{1}^{R} x^{-1}\,\mathrm{d}x

lim ε→0⁺ ∫ε¹ x⁻¹ᐟ² dx = 2

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x

1

衰減速度足夠快，因此收斂。

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x

發散

在這個例子中，趨近零是必要條件，但還不夠。

∫₀¹ 1/√x dx

2

即使端點有限，積分仍可能是瑕積分。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

這個例題只計算截斷後的有限區間 [1,10]，不是完整的無窮區間積分。收斂的理由仍需依照本篇的極限分析。

\frac{1}{x^{2}}

數值近似能證明收斂嗎？+

不能。有限截斷區間的計算，無法證明無窮尾端的累積量是有限的。

為什麼兩個無窮項不能互相抵消？+

一般定義下的瑕積分，要求兩側分別存在有限的積分值。

計算機支援所有瑕積分嗎？+

不支援。目前無窮上下限的規則有限。本頁按鈕只會開啟有限區間的截斷例題。

計算瑕積分前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。