微積分學習
無窮遠處的極限：最高次項、正負號與水平漸近線
無窮遠處的極限描述變數無限增大時的函數行為。多項式與有理函數可用最高次項分析，不必任意選取很大的數字來測試。正負號仍很重要，尤其遇到奇次方或負無窮大時。
先看結論
對有理函數，比較分子與分母的次數；次數相同時，極限是最高次項係數的比值。
+∞ 與 −∞ 處的行為可能不同。這是極限，不是把稱為無窮大的數值代入函數。
無窮遠處極限的完整計算方法
對 (3x²+1)/(2x²−5)，分子分母同除以 x²。趨近零的項消失後，兩端無窮遠處的極限都為 3/2。
分母次數較大時，同除以其最高次方，分子會趨近零，因此有理函數的極限為零。
分子次數較大時，比較超出的次方與最高次項係數比，判斷增長及正負號。
對 x³/(x²+1)，主導行為是 x。正無窮遠處的極限為 +∞，負無窮遠處則為 −∞。
根式需要特別注意：√(x²)=|x|，不是 x。因此 √(x²+1)/x 在兩端的正負號不同。預填例題仍限制在可精確處理的有理函數規則範圍內。
1
lim x→±∞ (3x²+1)/(2x²−5)=3/2
2
lim x→±∞ x/(x²+1)=0
3
lim x→−∞ x³/(x²+1)=−∞
解題範例
lim x→∞ (5x+2)/(2x−1)
分子與分母次數相同。
lim x→∞ x/(x²+1)
分母次數較大。
lim x→−∞ x³/(x²+1)
超出的次方為奇數，會改變正負號。
常見錯誤
- • 把 ∞ 當成實數直接代入。
- • 只處理最高次項係數，卻忽略次數。
- • x 為負時，將 √(x²) 寫成 x。
試算計算機支援的範例
範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。
這個例題使用引擎對多項式／有理函數的精確末端行為分析，不是代入大數值猜測。
開啟未填入範例的計算機: 極限參考資料
常見問題
無窮大的極限代表水平漸近線嗎？+
不代表。無窮遠處的極限為有限值 L，才會得到水平漸近線 y=L。
兩端的極限可以不同嗎？+
可以。必須分別檢查 +∞ 與 −∞。
如何輸入無窮大？+
計算機的趨近值欄位接受 infinity/inf；預填例題會保留趨近值與方向。
重點整理
計算無窮遠處的極限前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。
比較使用方案