極限方法
何時可以使用羅必達法則，何時不行？
羅必達法則有前提，不是每個商都預設使用的方法。微分前先檢查形式。
先看結論
只有代入得到 0/0 或 ∞/∞，且滿足定理條件時，才使用羅必達法則。
商必須符合適用的不定型，且微分後的商在目標附近有意義。
什麼時候使用何時使用羅必達法則？
操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。
先確認 1
哪個結構決定方法？
接下來怎麼做
商式符合適用形式，且沒有更簡單的方法時，才使用此法則。
先確認 2
哪些條件會改變答案？
接下來怎麼做
商必須符合適用的不定型，且微分後的商在目標附近有意義。
先確認 3
應該如何檢查結果？
接下來怎麼做
寫出原始形式，並驗證轉換後的極限。
安全的使用步驟
先代入或分析增長，說明所得形式。
只有 0/0 或 ∞/∞，且滿足定理條件時，才繼續。
分別微分分子與分母，不使用商法則。
求新的極限；只有仍符合適用形式時，才重複使用。
1
f(x)/g(x) → 0/0 或 ∞/∞
2
滿足條件時，lim f/g = lim f′/g′
3
分別微分分子與分母
解題範例
lim x→0 [exp(x)−1]/x
導數之比為 exp(x)/1。
lim x→0 sin(x)/x
也可以使用標準極限。
lim x→∞ x/exp(x)
導數之比為 1/exp(x)。
常見錯誤
- • 跳過形式檢查。
- • 使用商法則。
- • 對非商式直接套用法則。
- • 形式已不適用，卻繼續重複使用。
錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟
錯誤嘗試
在零點附近對 (x+1)/x 使用羅必達法則
錯在哪裡
形式為 1/0，不符合條件。
正確處理
分析單側發散行為。
錯誤嘗試
使用商法則
錯在哪裡
定理比較的是 f′/g′。
正確處理
分別微分分子與分母。
改變結構，練習相同概念
揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。
lim x→0 sin(x)/x
作答前檢查
也可以使用標準極限。
查看參考答案
參考答案
lim x→∞ x/exp(x)
作答前檢查
導數之比為 1/exp(x)。
查看參考答案
參考答案
用計算機試算同一道題
每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。
開啟未填入範例的計算機: 極限常見問題
1/0 可以使用嗎？+
不可以，它不是適用的不定型。
要使用商法則嗎？+
不用，分子與分母分別微分。
每個 0/0 極限都一定要使用嗎？+
不一定，因式分解或標準極限可能更清楚。
重點整理
說明形式，檢查條件，分別微分分子與分母，再重新評估轉換後的極限。
比較使用方案