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Integración de funciones racionales: división, fracciones parciales y dominios

Integrar funciones racionales consiste en integrar un cociente de polinomios. Comparar los grados determina el primer paso: si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, debes hacer la división polinómica antes de descomponer en fracciones parciales. Después, la factorización del denominador determina los términos necesarios.

Respuesta directa

Divide primero si hace falta, descompón la fracción propia y después integra sus partes más sencillas.

El denominador no puede ser cero. Una primitiva se aplica por separado en cada intervalo del dominio original.

Integración de funciones racionales paso a paso

Para (3x+5)/(x²+3x+2), factoriza el denominador como (x+1)(x+2). Ni x=−1 ni x=−2 pertenecen al dominio.

Escribe A/(x+1)+B/(x+2), multiplica por el denominador original y compara coeficientes: A+B=3 y 2A+B=5. Por tanto, A=2 y B=1.

Integra para obtener 2ln|x+1|+ln|x+2|+C. Deriva la respuesta y combina sus fracciones para comprobar el integrando original.

Los factores lineales repetidos requieren todas las potencias hasta su multiplicidad. Un factor cuadrático irreducible lleva un numerador lineal, no solo una constante.

Un factor cuadrático irreducible puede dar lugar a arctan al completar el cuadrado. Conserva su factor de escala: para 1/(x²+a²), una constante positiva a da arctan(x/a)/a.

1
3 x+5(x+1) (x+2)=2x+1+1x+2\frac{3\,x + 5}{\left(x + 1\right)\,\left(x + 2\right)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}
2
∫3 x+5x2+3 x+2 dx\int \frac{3\,x + 5}{x^{2} + 3\,x + 2}\,\mathrm{d}x
3
∫x2+1x+1 dx\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\,\mathrm{d}x

Ejemplos resueltos

∫1x (x+1) dx\int \frac{1}{x\,\left(x + 1\right)}\,\mathrm{d}x
ln⁡∣x∣−ln⁡∣x+1∣+C\ln\left|x\right| - \ln\left|x + 1\right| + C

Excluye 0 y −1.

∫1x2+4 dx\int \frac{1}{x^{2} + 4}\,\mathrm{d}x
arctan⁡(x2)2+C\frac{\arctan\left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C

El factor 1/2 procede de la derivada interior.

∫x2+1x+1 dx\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\,\mathrm{d}x
x²/2−x+2ln|x+1|+C

La división da x−1+2/(x+1).

Errores comunes

  • • Omitir la división en una fracción impropia.
  • • Omitir potencias intermedias de un factor repetido.
  • • Eliminar los valores absolutos de las primitivas logarítmicas reales.

Prueba el ejemplo compatible con la calculadora

El enlace carga una expresión compatible con su variable y sus condiciones. Los demás ejemplos son explicaciones de referencia, no una garantía de que el motor admita todos los métodos.

La integral racional original directa no es compatible actualmente. Primero descompón (3*x+5)/(x^2+3*x+2) con la herramienta de fracciones parciales; después, este ejemplo integra la expresión equivalente 2/(x+1)+1/(x+2). Los puntos −1 y −2 siguen excluidos.

Integrales:2x+1+1x+2\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Integrales

Referencias

Preguntas frecuentes

¿Descomponer es lo mismo que integrar?+

No. La descomposición es una identidad algebraica; después se integra cada término resultante.

¿Puedo cancelar un denominador y recuperar los puntos excluidos?+

No. Cancelar puede simplificar la expresión, pero no cambia el dominio original.

¿Qué ocurre si el motor no puede factorizar mi polinomio?+

Puede indicar que no es compatible. Es una limitación de sus reglas de factorización, no de las fracciones parciales como método matemático.

Conclusión

La integración de funciones racionales parte del dominio y las condiciones indicados. Vuelve a comprobarlos antes de aplicar un ejemplo resuelto a otro problema.

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