微積分學習

有理函數的積分：多項式除法、部分分式與定義域

有理函數的積分，就是將多項式的商積分。先比較次數：分子次數大於或等於分母時，必須先做多項式除法，再做部分分式分解。接著將分母因式分解，才能決定分式應包含哪些項。

先看結論

需要時先做多項式除法，再分解真分式，最後將較簡單的各項分別積分。

分母不可為零。原函數必須在原定義域的各個區間上分別成立。

有理函數的完整積分步驟

對 (3x+5)/(x²+3x+2)，將分母分解成 (x+1)(x+2)。x=−1 與 x=−2 都不在定義域內。

寫成 A/(x+1)+B/(x+2)，兩邊乘以原分母並比較係數，可得 A+B=3 與 2A+B=5，因此 A=2、B=1。

積分後得到 2ln|x+1|+ln|x+2|+C。將答案微分，再將分式合併，就能檢查是否回到原被積函數。

重複的一次因式，必須包含從一次到其重數的每個次方。不可約的二次因式，其分子應為一次式，不能只設一個常數。

不可約的二次式配方後，積分可能出現 arctan。不要漏掉倍率；當 a 是正常數時，1/(x²+a²) 的原函數為 arctan(x/a)/a。

\frac{3\,x + 5}{\left(x + 1\right)\,\left(x + 2\right)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}

\int \frac{3\,x + 5}{x^{2} + 3\,x + 2}\,\mathrm{d}x

\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\,\mathrm{d}x

\int \frac{1}{x\,\left(x + 1\right)}\,\mathrm{d}x

\ln\left|x\right| - \ln\left|x + 1\right| + C

須排除 0 與 −1。

\int \frac{1}{x^{2} + 4}\,\mathrm{d}x

\frac{\arctan\left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C

係數 1/2 來自內層函數的導數。

\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\,\mathrm{d}x

x²/2−x+2ln|x+1|+C

做多項式除法後得到 x−1+2/(x+1)。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

目前不支援直接積分原有理式。請先在部分分式工具中分解 (3*x+5)/(x^2+3*x+2)；本例題會將等價式 2/(x+1)+1/(x+2) 帶入積分工具。仍須排除 −1 與 −2。

\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}

分解部分分式就是積分嗎？+

不是。分解只建立代數恆等式，之後仍須將分解得到的各項分別積分。

約掉分母後，可以把原本排除的點加回定義域嗎？+

不可以。約分能簡化表示式，卻不會改變原本的定義域。

引擎無法將多項式因式分解時怎麼辦？+

可能會回傳不支援。這是目前因式分解規則的限制，不代表部分分式這個數學方法本身不適用。

處理有理函數的積分時，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。