Derivadas de orden superior

Cómo calcular una segunda derivada paso a paso

Una segunda derivada mide cómo cambia la pendiente. Calcúlala a partir de la primera derivada completa, sin saltar directamente desde la función original.

Respuesta directa

f″(x) = d/dx [f′(x)]

La primera derivada debe ser derivable en el intervalo.

Elección del método: Cómo calcular una segunda derivada

Elige el método según la estructura matemática principal antes de manipular símbolos. Las condiciones forman parte del problema, no son notas opcionales.

Qué comprobar primero 1

¿Qué estructura determina el método?

Qué hacer

Usa una segunda derivada cuando se pregunta cómo cambia la pendiente y no por la pendiente misma.

Qué comprobar primero 2

¿Qué condición puede cambiar la respuesta?

Qué hacer

La primera derivada debe ser derivable en el intervalo.

Qué comprobar primero 3

¿Cómo se debe comprobar el resultado?

Qué hacer

Muestra dos derivaciones separadas y fija el orden de la calculadora en dos.

Dos pasos de derivación visibles

Calcula f′(x) y conserva todo su dominio.

Trata ese resultado completo como un nuevo problema de derivación.

La segunda derivación puede introducir las reglas del producto o de la cadena aunque la primera pareciera sencilla.

Interpreta la concavidad solo donde exista f″.

1
f x=x3−2 xf\,x = x^{3} - 2\,x
2
f'(x)=3x²−2
3
f''(x)=6x

Ejemplos resueltos

d2dx2[x4]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[x^{4}\right]
12 x212\,x^{2}

Aplica la regla de la potencia dos veces.

d2dx2[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[\sin x\right]
−sin⁡x-\sin x

El seno pasa a coseno y después a seno negativo.

d2dx2[e2 x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[e^{2\,x}\right]
4 e2 x4\,e^{2\,x}

Cada derivación aporta un factor 2.

Errores comunes

  • • Detenerse en f′.
  • • Perder términos de f′.
  • • Omitir un factor interior repetido.
  • • Hablar de concavidad donde f″ no existe.

Análisis de errores: encuentra el primer paso inválido

Intento incorrecto

[x⁴]''=4x³

Por qué falla

Esta es solo la primera derivada.

Corrección

[x⁴]''=12x²

Intento incorrecto

[exp(2x)]''=2exp(2x)

Por qué falla

La segunda derivación aporta otro factor 2.

Corrección

[exp(2x)]''=4exp(2x)

Practica la misma idea con una estructura distinta

Identifica la regla y sus condiciones antes de mostrar la respuesta de referencia. Explica cada signo y factor.

d2dx2[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[\sin x\right]

Comprueba antes de resolver

El seno pasa a coseno y después a seno negativo.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

−sin⁡x-\sin x
d2dx2[e2 x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[e^{2\,x}\right]

Comprueba antes de resolver

Cada derivación aporta un factor 2.

Ver la respuesta de referencia

Respuesta de referencia

4 e2 x4\,e^{2\,x}

Prueba los ejemplos en la calculadora

Cada enlace abre la calculadora correspondiente con la expresión, la variable y las condiciones necesarias ya completadas.

Derivadas:x4x^{4}Derivadas:sin⁡x\sin x
Abrir la calculadora sin un ejemplo: Derivadas

Preguntas frecuentes

¿f″ es el cuadrado de f′?+

No. Significa derivar f′ una vez más.

¿Qué significa f″>0?+

Donde existen las derivadas, indica que la gráfica es cóncava hacia arriba.

¿Puede existir f′ sin que exista f″?+

Sí. La primera derivada no tiene por qué ser derivable.

Conclusión

Obtén la primera derivada completa, vuelve a derivarla e interpreta la concavidad solo donde exista la segunda derivada.

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