高階導數

逐步求二階導數

二階導數衡量斜率如何改變。應從完整的一階導數計算，不能直接從原函數跳過中間步驟。

先看結論

f″(x) = d/dx [f′(x)]

一階導數本身必須在區間上可微分。

什麼時候使用如何求二階導數？

操作符號前，先從最外層的數學結構選擇方法。條件是題目的一部分，不是可省略的附註。

先確認 1

哪個結構決定方法？

接下來怎麼做

題目問斜率如何改變，而非斜率本身時，使用二階導數。

先確認 2

哪些條件會改變答案？

接下來怎麼做

一階導數本身必須在區間上可微分。

先確認 3

應該如何檢查結果？

接下來怎麼做

分開顯示兩次微分，並將計算機階數設為 2。

清楚呈現兩次微分

計算 f′(x)，並保留其完整定義域。

將整個結果視為新的微分題目。

即使第一次看似簡單，第二次仍可能需要乘積法則或連鎖律。

只在 f″ 存在的地方解釋凹凸性。

1
f x=x3−2 xf\,x = x^{3} - 2\,x
2
f'(x)=3x²−2
3
f''(x)=6x

解題範例

d2dx2[x4]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[x^{4}\right]
12 x212\,x^{2}

使用兩次冪法則。

d2dx2[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[\sin x\right]
−sin⁡x-\sin x

正弦先變成餘弦，再變成負正弦。

d2dx2[e2 x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[e^{2\,x}\right]
4 e2 x4\,e^{2\,x}

每次微分都提供係數 2。

常見錯誤

  • • 算到 f′ 就停止。
  • • 漏掉 f′ 中的項。
  • • 漏掉再次出現的內層因子。
  • • 在 f″ 不存在的地方討論凹凸性。

錯誤診斷：找出第一個不成立的步驟

錯誤嘗試

[x⁴]''=4x³

錯在哪裡

這只有一階導數。

正確處理

[x⁴]''=12x²

錯誤嘗試

[exp(2x)]''=2exp(2x)

錯在哪裡

第二次微分還會提供另一個係數 2。

正確處理

[exp(2x)]''=4exp(2x)

改變結構，練習相同概念

揭示參考答案前，先指出法則及其條件，並解釋每個正負號與因子。

d2dx2[sin⁡x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[\sin x\right]

作答前檢查

正弦先變成餘弦，再變成負正弦。

查看參考答案

參考答案

−sin⁡x-\sin x
d2dx2[e2 x]\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left[e^{2\,x}\right]

作答前檢查

每次微分都提供係數 2。

查看參考答案

參考答案

4 e2 x4\,e^{2\,x}

用計算機試算同一道題

每個連結都會開啟對應計算機，並帶入完整算式、變數與必要條件。

微分:x4x^{4}微分:sin⁡x\sin x
開啟未填入範例的計算機: 微分

常見問題

f″ 是 f′ 的平方嗎？+

不是。它表示對 f′ 再微分一次。

f″>0 表示什麼？+

在導數存在的地方，表示圖形凹向上。

f′ 可以存在而 f″ 不存在嗎？+

可以。一階導數本身不一定可微分。

重點整理

先求完整的一階導數，再微分一次；只在二階導數存在的地方解釋凹凸性。

比較使用方案