绝对值与积分

绝对值积分：找零点、分段与符号检查

绝对值积分在上下限递增时，会将 x 轴上下的贡献都按非负面积相加。它不同于先求带符号积分，再对最后的答案取绝对值。先分析绝对值里面的函数：零点可能改变符号，也可能不改变，应逐区间判断，不能机械地遇到零点就翻转符号。间断点和无定义点还需要单独检查可积性。

先看结论

∫∣x∣ dx=x∣x∣2+C\int |x|\,dx=\frac{x|x|}{2}+C

使用实数输入。完整的符号分析必须包含所有相关零点与定义域边界，少量采样点不能证明全局符号不变。

先在零点分段，再分别积分

对于 |x|，零点是 0。x<0 时被积函数为 −x，对应原函数 −x²/2+C；x>0 时为 x，对应 x²/2+C。使用相同常数可让两段在 0 连接。紧凑表达 x|x|/2+C 包含两段，在 0 也可导，导数为 0。

计算从 0 到 1 的 |2x−1| 积分，先解出零点 x=1/2。在 [0,1/2] 积分 1−2x，在 [1/2,1] 积分 2x−1，两段各为 1/4，总计 1/2。也可以使用连续原函数 (2x−1)|2x−1|/4 代入上下限复核。

若没有绝对值，从 0 到 1 的 (2x−1) 积分等于 0，因为正负贡献抵消。事后再取 |0| 仍为 0，无法恢复正确的 1/2 总面积。总面积应在累加前保留非负贡献，而非在抵消后补一个绝对值。

从 −1 到 1 积分 √(x²) 时，主值平方根非负，应写成 |x|。左右两块三角形面积各为 1/2，合计为 1。若错误地化成 x，则会得到 0。

检查一个候选原函数时，既要在各开区间求导，也要检查分段常数是否让连接处连续。各段导数正确，不代表允许原函数在连接处跳跃。有限区间上的独立数值积分可以交叉核对，但浮点数一致不等于任意函数的符号证明。

计算器支持特定绝对值和平方根模式，包括数值仿射表达式及部分三角形式，不会为任意复杂非线性函数找全零点。规则不支持时保留原题；若实际需要定积分数值，可填写有限上下限，再由定义域和精度检查决定能否计算。

1
∣x∣={−xx<0xx≥0|x|=\begin{cases}-x&x<0\\x&x\ge0\end{cases}
2
F(x)=x∣x∣2+CF(x)=\frac{x|x|}{2}+C
3
∫01∣2x−1∣ dx=14+14=12\int_0^1|2x-1|\,dx=\frac14+\frac14=\frac12
4
∫−11x2 dx=1\int_{-1}^{1}\sqrt{x^2}\,dx=1

递进例题

∫ |x| dx
x|x|/2+C

保留一个全局常数，并检查 0 处的连接。

∫₀¹ |2x−1| dx
12\frac{1}{2}

在 x=1/2 分段，两段各贡献 1/4。

∫₋₁¹ √(x²) dx
11

主值平方根是 |x|，不是整个区间上的 x。

常见错误

  • • 未检查 g 的符号就将 √(g²) 化成 g。
  • • 先计算带符号积分，再给结果加绝对值；面积已经抵消。
  • • 只找到一个零点就假设没有其他零点，或用互不相接的常数冒充一个全局原函数。

换一个符号边界练习

先找零点，再计算；另用反向上下限检查方向。

∫₀² |x−1| dx

作答前检查

在 1 分段，相加非负面积。

查看参考答案

参考答案

11
∫₁⁰ |2x−1| dx

作答前检查

即使被积函数非负，反向上下限也会改变答案符号。

查看参考答案

参考答案

−12\frac{-1}{2}

把同一道题带入计算器

每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。

每条链接都保留原式及所需的有限上下限，只填入工作台，不会自动提交。第一题求原函数，后两题求数值，上下限是题目不可缺少的部分。

积分:∣x∣\left|x\right|积分:∣2 x−1∣\left|2\,x - 1\right|积分:x2\sqrt{x^{2}}
打开无预填内容的计算器: 积分

参考资料

常见问题

√(x²) 总等于 x 吗？+

实数范围内它等于 |x|；x≥0 时为 x，x<0 时为 −x。

能不能积分后再取绝对值？+

一般不能。2x−1 在 [0,1] 上的带符号积分为 0，绝对值积分却是 1/2。

绝对值积分也会是负数吗？+

对可积实函数，上下限递增时非负；交换上下限会取相反数，本页反向例题的答案为 −1/2。

总结

计算绝对值积分，先保留绝对值，在相关零点分段并检查各段符号。求原函数时兼查导数和连接，求定积分时保留上下限的方向。

比较使用方案