高阶偏导数
混合偏导顺序：fxy、fyx 与四个二阶偏导
要求 fxx、fxy、fyx、fyy，可以先从原函数画出 fx 与 fy 两条分支，再分别对每条分支求一次导数。同一变量求两次是纯二阶偏导，切换变量则是混合偏导。本页下标的最后一个字母表示第二次操作；算子分式则由右向左作用。在公式旁写出“先 x 后 y”，比只猜下标更可靠。
先看结论
先确认教材或工具的记号约定。在某点邻域内二阶混合偏导连续，是交换求导顺序的常用充分条件；不能无条件认定二者相等。
从两条一阶分支得到四个二阶偏导
设 f(x,y)=x²y+y³。求 fx 时固定 y，x²y 变成 2xy，y³ 的导数为零。求 fy 时必须回到原函数，得到 x²+3y²。这两个一阶结果分别回答不同方向的变化率，并不是前后相接的步骤。
从 fx=2xy 出发，再对 x 求导得到 fxx=2y；改为对 y 求导则得到 fxy=2x。混合偏导的第二步必须使用第一步结果，不能对原函数直接换一个变量后就称为 fxy。
从 fy=x²+3y² 出发，对 x 求导得到 fyx=2x，对 y 求导得到 fyy=6y。这个多项式的各阶偏导都连续，所以两条混合路径给出相同结果。
Schwarz 定理给出一个充分条件：如果两种二阶混合偏导在该点的邻域内连续，它们在该点相等。不满足这个充分条件，并不能直接推出二者不等；分段函数的特殊点需要单独检查。不能用一道多项式例题推出任意函数都能交换顺序。
在计算器中，若要从原式分别求 fx、fy，使用独立变量选择。若要计算 fxy，先用单变量模式求 fx，再在成功结果下选择继续对 y 求导。保留中间表达式和当前变量；计算另一条独立一阶分支前，重新加载原函数。每次提交仍按现有计算规则处理。
递进例题
| 任务 | 答案 | 成立条件 |
|---|---|---|
| 原函数 f → x | 固定 y，从原函数出发。 | |
| 原函数 f → y | 回到原函数，不是对 fx 再求一次导数。 | |
| fx → x | 同一变量的纯二阶偏导。 | |
| fx → y | 先 x 后 y，中间输入为 2xy。 | |
| fy → x | 先 y 后 x，中间输入为 x²+3y²。 | |
| fy → y | 第二次对 y 求导时，x² 仍视为常数。 |
常见错误
- • 把从原函数得到的 fy 当作 fx 之后的下一步：独立偏导不等于混合偏导。
- • 只看下标猜顺序，没有写清算子或“先 x 后 y”的约定。
- • 认定混合偏导总相等，或仅因尚未验证连续性就认定它们不等。
换一道多项式检查四条路径
使用 g(x,y)=x³y²，先独立求两个一阶偏导，再选第二次方向。
作答前检查
两次都从 g 出发。
查看参考答案
参考答案
作答前检查
保留各自的一阶中间结果。
查看参考答案
参考答案
把同一道题带入计算器
每个链接都会打开对应计算器，并完整带入表达式、变量和必要条件。
链接分别填入原函数并选择 x 或 y，不会自动计算。要求 fxy，请先计算 x 例题，再从成功结果继续对 y 求导；每次提交沿用现有计算与积分规则。
打开无预填内容的计算器: 偏导数计算器参考资料
常见问题
分别求 fx、fy 就是求 fxy 吗？+
不是。前者两次独立处理原函数；后者对 fx 的结果再按 y 求导。
fxy 到底先求哪个变量？+
本页约定先 x 后 y，算子形式为 ∂/∂y(∂f/∂x)。不同资料的写法可能不同，应先声明约定。
fxy 一定等于 fyx 吗？+
并非对任意函数和任意点都成立。邻域内二阶混合偏导连续是常用充分条件，特殊点需另行检查。
总结
计算混合偏导时，保留原函数，明确第一次求导方向，再使用中间结果计算第二次导数。独立偏导分开走两条路径，交换顺序前检查成立条件。
比较使用方案