微積分學習

cot(x) 的導數：商法則、負號與連鎖律

cot(x) 是 cos(x) 除以 sin(x)，因此其導數帶有負號。利用商法則推導，也能同時理解分母的來源，以及函數在哪些點沒有定義。

先看結論

d/dx cot(x)=−csc²(x)。對 cot(g(x)) 微分時，還要乘以 g′(x)。

角度採弧度，且排除 sin(x)=0 的點。複合函數則須排除 sin(g(x))=0 的點。

cot(x) 導數的完整推導

在原定義域上，將 cot(x) 寫成 cos(x)/sin(x)。

商法則的分子為 (−sin x)sin x−cos x(cos x)=−(sin²x+cos²x)=−1。

除以 sin²x，得到 −1/sin²x=−csc²x。

對 cot(3x)，內層導數為 3，因此結果是 −3csc²(3x)。須排除 3x=kπ 的點。

cot x=cos x/sin x

(cot x)′=−1/sin²x

(cot(g(x)))′=−g′(x)/sin²(g(x))

d/dx cot(x)

−csc²x

在定義域的各個區間上皆為負。

d/dx cot(3x)

−3csc²(3x)

記得乘以 3。

d/dx cot(x²)

−2x csc²(x²)

保留原本的內層表示式。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

這個輸入刻意使用目前剖析器支援的商式表示法。

\frac{\cos x}{\sin x}

cot 是 tan 的反函數嗎？+

不是。在兩者都有定義的地方，cot=1/tan；arctan 才是反函數。

可以直接使用角度制嗎？+

標準公式以弧度為前提。若引數採角度制，會多出 π/180 的係數。

預填例題使用什麼輸入？+

使用目前支援的等價寫法 cos(x)/sin(x)，不代表剖析器新增了 cot 的輸入別名。

計算 cot(x) 的導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。