微積分學習

csc(x) 的導數：倒數微分與複合函數

csc(x) 的導數可由 csc(x)=1/sin(x) 推導。微分倒數時產生的負號，以及內層 sin(x) 微分後的 cos(x)，都不能省略。

先看結論

d/dx csc(x)=−csc(x)cot(x)=−cos(x)/sin²(x)。

角度採弧度，sin(x) 不可為零。

csc(x) 導數的完整推導

將函數寫成 [sin(x)]⁻¹。負次方的微分會產生 −[sin(x)]⁻²。

再乘上內層導數 cos(x)，得到 −cos(x)/sin²(x)。

將其中一個分母因子改寫成 csc，另一個商改寫成 cot，得到 −csc(x)cot(x)。

對 csc(2x) 微分時，須乘以 2，並在兩個三角函數因子中都保留 2x。

csc x=[sin x]⁻¹

(csc x)′=−cos x/sin²x

(csc(g(x)))′=−g′(x) cos(g(x))/sin²(g(x))

d/dx csc(x)

−csc(x)cot(x)

不是 −csc²(x)。

d/dx csc(2x)

−2csc(2x)cot(2x)

係數 2 應放在外面。

d/dx [x csc(x)]

csc(x)−x csc(x)cot(x)

還需要使用乘積法則。

範例會帶入計算機支援的算式、變數與條件。指南中的其他解說是數學參考，不代表計算引擎支援所有方法。

目前引擎請使用 1/sin(x)。本篇公式在指定定義域上與此等價。

\frac{1}{\sin x}

csc(x) 和 arcsin(x) 一樣嗎？+

不一樣。csc 是倒數，arcsin 是反函數。

為什麼導數中會出現餘弦？+

連鎖律要求對倒數內部的 sin(x) 微分。

目前可以在預填例題中輸入 csc 嗎？+

預填例題使用 1/sin(x)，避免直接使用尚不支援的別名。

計算 csc(x) 的導數前，先確認題目列出的定義域與條件。將例題的方法用在另一題時，也要重新檢查這些限制。